已知 x^2+3x+6是多项式x^4-6x^3+mx^2+nx+36的一个因式,试确定m、n的值,，并求出其他因式。

设(x^2+3x+6)(x^2+ax+b)=x^4-6x^3+mx^2+nx+36
(x^2+3x+6)(x^2+ax+b)
=x^4+ax^3+bx^2+3x^3+3ax^2+3bx+6x^2+6ax+6b
=x^4+(a+3)x^3+(3a+b+6)x^2+(3b+6a)x+6b=x^4-6x^3+mx^2+nx+36
左右对照可知
a+3=-6
6b=36
3a+b+6=m
3b+6a=n
解得
a=-9
b=6
m=-15
n=-36
所以另一个因式是
x^2-9x+6

显然还有一个二次因式
设为(x^2+ax+b)
则(x^2+3x+6)(x^2+ax+b)=x^4-6x^3+mx^2+nx+36
看常数项，6b=36
b=6
所以(x^2+3x+6)(x^2+ax+6)
=x^4+(a+3)x^3+(6+3a+6)x^2+(18+6a)x+36
=x^4-6x^3+mx^2+nx+36
对应项系数相等
所以a+3=-6
6+3a+6=m
18+6a=n
所以a=-9
m=3a+12=-15
n=6a+18=-36

另一个因式是x^2-9x+6

设另外一个是:(x^2+kx+6)
(x^2+3x+6)(x^2+kx+6)
=x^4+kx^3+6x^2+3x^3+3kx^2+18x+6x^2+6kx+36
=x^4+(k+3)x^3+(12+3k)x^2+(18+6k)x+36
对比有:
k+3=-6,
12+3k=m
18+6k=n

k=-9,
m=-15,
n=-36
另一个 是:x^2-9x+6